线性代数几何理解

线性变换

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$$

$$\bold{A}\vec{a} = \vec{b}$$

直接来看例子，这一步计算的本质究竟是什么。

**向量 $\vec{a}$ 在经过矩阵 $A$ 这个线性变换之后变为向量 $\vec{b}$ **

的含义是将原来的两个基向量 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 分别移动到 $\begin{pmatrix}2\\1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix}$

，在此之后对新的基进行线性组合所得到向量

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\color{red} 1}\\ {\color{blue} 1} \end{pmatrix} = {\color{red} 1} \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} + {\color{blue} 1} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$$

组合变换

理解了上面的内容之后下面这个式子就好理解了

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$$

对一个向量做了两次线性变换，这里应该从右往左读，先对向量进行旋转，再对向量进行错切。（顺序不能颠倒的原因是矩阵乘法不满足交换律）。后面的组合变换矩阵便是将这两种变换组合到一起施加到向量上。

行列式

行列式定量地描述了，在经过一个线性变换之后，原来单位向量所围成面积变化的倍数。

其实原来单位向量所围成的面积就是1，这里我之前就理解为变换之后新的单位向量所围成的面积，但作者为什么想强调这是一个变化呢？

对于这个线性变换 $\begin{pmatrix}4 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , 其行列式为0，我觉得现在你不是应该想到某两行或者两列成比例行列式为0这个规律，而是应该在大脑中浮现出这样的图像

很明显这个变换之后的单位向量围成的面积是0，但它更想告诉你的是，我能够把原来的空间压缩到更小的维度上面。你可以试试，对任意一个向量施加这个线性变换之后，其结果都在一条线上。这个线性变换把二维空间压缩到了一维空间中

行列式的正负可以直观地理解为变换之后空间的方向变化

线性方程组

$$A \vec{x} = \vec{v}$$

这个线性方程组的几何含义就是找到一个向量 $\vec{x}$ ，在对其施加了线性变换 $A$ 之后，和向量 $\vec{v}$ 重合。要找到这样的向量，可以像倒带一样对向量 $\vec{v}$ 做逆操作

逆矩阵

$$\vec{x} = A^{-1}\vec{v}$$

怎么定义一个矩阵的逆矩阵呢，还记得最开始学现代的时候书上说 $AB = BA= E$ 时，A和B互为逆矩阵。现在你应该有一个新的角度来理解了，首先来看这个 $E$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

笑死，原来的基向量不就是在（1，0）和（0，1）吗，根本没动啊，这个线性变换啥都没干。说回逆矩阵的问题，如果对一个向量施加一个线性变换再逆变换一下不就啥都没干嘛哈哈。

$$A^{-1}A\vec{b} = E\vec{b} = \vec{b}$$

还记得一个矩阵是否可逆有一个充要条件是行列式不为0，上文提到行列式的值是线性变换之后面积变化的倍数，如果行列式为0的话相当于这个变换压缩了空间的维数，但是压缩维数这一种操作的逆操作是无法确定的呀。你能想象出来一种线性变换可以提高维数的吗哈哈哈

矩阵的秩

在三维空间中，如果施加一个线性变换之后所有的点都落在一条直线上，那么这个线性变换的秩为1，如果全部落在一个平面之上，则其秩为2。

矩阵的列空间：一个线性变换的所有变换结果的集合，成为这个矩阵的列空间。换言之，矩阵的列向量的所有线性表示组成了这个矩阵的列空间。列空间的维度数就是这个矩阵的秩

特征向量和特征值

还记得这个式子吗，现在让我们从线性变换这个角度来重新理解一下。

$$A\vec{v} = \lambda \vec{v}$$

简单来说，对某一向量施加了线性变换后只是相当于缩短或拉长了这个向量。在某一个向量经过某个线性变换之后，它所在的新位置与原位置一般都会有所偏离。但有些向量在经过线性变换之后，它仍然在经过它原先位置的直线上，这个线性变换仅仅是将其缩短或者拉长了。那么这样的向量就是这个线性变换的特征向量，相对于原来缩短或拉长的倍数就是特征值。

如何计算某一个矩阵的特征值和特征向量呢？

$$A\vec{v} - \lambda\vec{v} = \vec{0}\\ (A - \lambda E)\vec{v} = \vec{0}$$

由于特征向量是非零向量，非零向量经过了一个线性变换之后变成了零向量，那么这个线性变换一定发生了降维，故 $\begin{vmatrix}A - \lambda E \end{vmatrix} = 0$ 。